Ligando os pontos da pandemia

No meio da pandemia de Covid-19 apareceram as dicas dos antigos jogos de papel e caneta, como o jogo da velha e batalha naval. Nessa coleção temos também os jogos de ligar todos os pontos sem levantar a caneta e passar duas vezes pelo mesmo caminho. Nas dicas de jogos que estão por aí, geralmente dá para ligar os pontos depois de coçar um pouco a cabeça, mas nem todos têm solução. O jogo de ligar os pontos mais famoso é o das sete pontes de Königsberg (atual Kaliningrado). Vejam o mapa da cidade na ilustração com seus distritos interligados pelas sete pontes sobre o Rio Pregel. O jogo consistia em encontrar um jeito de passar por todos os distritos, atravessando todas as pontes apenas uma vez e voltar ao ponto de partida. Impossível, como demonstrado pelo grande matemático alemão Leonard Euler em 1736[I]. Para entender o problema matematicamente, o mapa da cidade foi transformado em uma rede, ou, como preferem os matemáticos, um grafo. Os distritos viram pontos (os nós da rede) e as pontes as ligações (ou arestas da rede). A demonstração de Euler é considerada o primeiro teorema do que depois foi chamado de Teoria das Redes[II], que ganhou impulso no século XX e hoje é uma ferramenta de uso interdisciplinar, mas vamos com calma.

A cidade de Königsberg e suas pontes transformadas em uma rede ou grafo
A cidade de Königsberg e suas pontes transformadas em uma rede ou grafo

Quando penso em redes, primeiro vêm à lembrança aquelas fixas às traves dos gols, ou das quadras de vôlei e tênis ou das cestas de basquete. São as redes mais simples, as chamadas redes regulares e a ilustração de um detalhe de uma rede de gol, mostra literalmente os ingredientes essenciais de uma rede: seus nós e as ligações entre eles. Embora importantes, as redes regulares são exceções, a maioria das redes pelo mundo afora são de outros tipos.

Em Teoria de Redes, os nós também são chamados de nós, ligados por arestas
Em Teoria de Redes, os nós também são chamados de nós, ligados por arestas

Os galhos de uma árvore, por exemplo, formam uma rede de distribuição dos fluidos necessários para sua sobrevivência. E usando os galhos de uma árvore como analogia temos um modelo simplificado para a rede de relacionamentos sociais, como a rede de Bethe[III] na terceira figura, em que uma pessoa imaginária (o “nó” central na imagem, ou o “tronco” da árvore) conhece três pessoas (“galhos”) e cada uma delas conhece apenas três pessoas também, uma da “camada” anterior e duas de um próximo círculo, que podemos chamar de grau, e assim sucessivamente. Lembrando, as relações socias são bem mais complicadas, pois cada nó, perdão, pessoa, tem um número diferente de conhecidos ou amigos e as pessoas de diferentes camadas podem se relacionar com outras da mesma camada e o nó central pode ter uma conexão direta com alguém lá da quinta camada. Mas esse modelo simplificado já traz um monte de informações para entender as grandes redes complexas reais. Por exemplo, essas árvores sempre com o mesmo número de galhos saindo dos maiores representam uma média. Imaginemos no exemplo, que cada ser humano conheça em média 45 pessoas (conhece o nome, sabe o que faz, têm o whatsapp, etc), quantos seres humanos estarão conectados por apenas seis camadas (ou graus)? Um pouco de matemática chega a um número superior a sete bilhões, ou seja, o número de habitantes humanos da Terra.

Uma rede tipo “árvore” de coordenação 3 (cada nó ou vértice está ligado a outros três)
Uma rede tipo “árvore” de coordenação 3 (cada nó ou vértice está ligado a outros três)

Em Teoria das Redes, o exemplo do parágrafo acima se chama “rede de mundo pequeno”. Diferente da rede de ruas em uma cidade, na qual temos que atravessar um sem número de esquinas, quando se vai de um canto da cidade ao extremo oposto. Não chega a ser espantoso se lembrarmos do famoso experimento do psicólogo Stanley Milgram nos anos 1960, que por meio de envio de cartas formulou a ideia dos seis graus de separação (entre quaisquer humanos do planeta), ou seja, devido a existência de conhecidos comuns a duas pessoas que não se conhecem[IV]. Mundo pequeno é uma das características de redes sociais, que não são nada regulares. No final dos anos 1950, os matemáticos Paul Erdös e Alfréd Rényi criaram o primeiro modelo de redes aleatórias, mas as redes sociais não são nada aleatórias e sim do tipo “livre de escalas”, ou seja, existe uma ordem na formação das redes: nós (ou pessoas) altamente conectadas têm a tendência de se conectar mais do que aqueles com poucas conexões. Uma rede livres de escala tem uns poucos nós (também chamados de vértices) hiperconectados e um número crescente daqueles com quantidade decrescente de conexões. Um exemplo simples: a rede de transporte aéreo: uns poucos aeroportos com milhares de voos para dezenas ou centenas de lugares e uma vasta maioria de pequenos aeroportos às moscas a maior parte do dia.

As redes são caracterizadas por diferentes parâmetros como o número de nós e de suas conexões (pode haver inclusive mais de uma ligação entre dois vértices, por exemplo: o número de disciplinas que conectam um estudante com um professor – nesse semestre eu ministrei duas disciplinas para vários estudantes que estavam matriculados em ambas) e daí a conectividade de uma rede. As ligações podem ser direcionais ou não, como as ruas de mão única ou de mão dupla. Importante também saber qual é o caminho mais curto em uma rede e qual é a distância média entre os diferentes nós. Ou ainda a centralidade (algo como importância) de cada vértice e se existem componentes (pedaços da rede) quase isolados do resto, ou se a rede é altamente conectada como um todo (componente gigante, no jargão técnico). Pelos exemplos dados acima - as ruas de Königsberg, os galhos de uma árvore ligados ao tronco, as relações sociais, o tráfego aéreo e relações de ensino-aprendizagem - pode-se inferir que redes são ferramentas importantes para estudar e entender uma grande número de fenômenos e, de fato, isso pode ser visto em um livro de livre acesso de Albert-László-Barabási[V], que, aliás, foi quem identificou as redes livre de escala e ficou famoso quando escrutinou uma das redes mais presentes no dia-a-dia já  no final do século passado: a internet.

Entre essas aplicações, uma das mais importantes é a rede de transmissão de doenças. Se for uma rede livre de escala, temos que identificar os super transmissores, identificar os laços “mundo pequeno”, que levam uma epidemia de um país a outro ou de um estado ao seguinte. Todas as pessoas suscetíveis à doença não estão conectadas da mesma forma. Uma vez conhecida a rede potencial de transmissão de uma doença, aplicam-se os modelos epidemiológicos[VI] de modo mais preciso: podemos estimar a evolução da taxa de contágio de uma população com mais acurácia e, então, propor ações de controle e enfrentamento mais precisas, saber com maior certeza o quanto deve durar o distanciamento social, qual o impacto sobre o serviço de saúde e como e quando sair do isolamento. Sobre isso o livro de Barabási traz um capítulo especial (capítulo 10) para o leitor interessado. Exemplos de epidemias passadas, nos quais podem ser reconhecidos os elementos abordados acima, seguem em duas ilustrações. A primeira é a representação da rede de transmissão de HIV na cidade de Colorado Springs há bastante tempo[VII], na qual os infectados são os pontos vermelhos e as transmissões são representadas pelas arestas azuis. Observa-se nessa figura algumas características do modelo simplificado dado pela rede de Bethe, mas com ligações extras entre os “galhos da árvore”, e percebemos que uns infectaram mais que outros, e vários não infectaram ninguém.

Rede epidêmica de transmissão de HIV em um dado grupo. Os vértices vermelhos representam indivíduos e as arestas azuis a transmissão entre eles (Gorab Goshal).
Rede epidêmica de transmissão de HIV em um dado grupo. Os vértices vermelhos representam indivíduos e as arestas azuis a transmissão entre eles (Gorab Goshal).

Um segundo exemplo, entre muitos outros, é retirado do instigante artigo de Dirk Brokmann e Dirk Helbing em que analisam as propagações da epidemia de SARS em 2003 e da pandemia de Influenza H1N1 em 2009[VIII]. A figura escolhida é uma simulação da propagação da SARS a partir de Hong Kong. A figura é engenhosa. A parte superior é uma rede de lugares com “distâncias efetivas” crescentes a partir do epicentro (Hong Kong) em diferentes tempos. Os nós da rede (lugares atingidos) estão em vermelho nos períodos de prevalência local da pandemia. Na parte de baixo da figura a localização desses pontos na rede em um mapa-múndi. Atenção para um detalhe: “distância efetiva” não é distância geográfica, que é diminuída pelas conexões aéreas!

Simulação em rede da difusão da epidemia de SARS em 2003 (Brokmann e Helbing, 2013)
Simulação em rede da difusão da epidemia de SARS em 2003 (Brokmann e Helbing, 2013)

Teoria de redes também está sendo aplicada à atual pandemia. Entre as iniciativas, busco uma ilustrativa. Um grupo de pesquisadores de diferentes departamentos de Demografia, Antropologia, Sociologia e Ciências Políticas, de Oxford e de Zurique, aplicam modelos de rede para simular as melhores estratégias de distanciamento social após o lockdown.[IX] Como se constrói uma rede assim? Com dados, muitos dados! Para saber como é a rede de transmissão para a Covid-19 são necessários testes e mais testes, além de rastreamento das pessoas que entraram ou não em contato com os contagiados testados. Isso é feito em vários países, mas não aqui. Depende de uma rede importante, a governança de um país, altamente conectada e efetiva, preocupada com todos os seus vértices em muitos países. Aqui, no entanto, um vértice central, o do ministro da saúde, está vago há mais de dois meses, enquanto alcançamos a triste marca de 80 mil mortes e mais de dois milhões de infectados. Outros vértices importantes são ocupados por membros que deveriam estar em outros grafos. Assim só contamos com duas redes: a da solidariedade e a da colaboração científica, que resiste, apesar dos ataques, entre outros, da mais infame das redes, a das Fake News.

 

 

Esse texto não reflete, necessariamente, a opinião da Unicamp.

 

 

 


[I]https://pt.wikipedia.org/wiki/Sete_pontes_de_Königsberg

[II]https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_redes_complexas

[III] Nomeado em homenagem ao seu criador, Hans Bethe, que aplicou o modelo a um problema de Física lá nos anos 1930. Hans Bethe acabou recebendo o prêmio Nobel, mas por outra coisa.

[IV]https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_seis_graus_de_separação

[V]http://networksciencebook.com/

[VI]https://www.unicamp.br/unicamp/noticias/2020/06/23/de-que-forma-modelos-matematicos-ajudam-na-compreensao-da-pandemia

[VII] Imagem reproduzida na tese de Gourab Goshal, que comenta ser uma cortesia de Mark Newman, importante cientista de redes:

https://www.researchgate.net/publication/238576491_Structural_and_Dynamical_Properties_of_Complex_Networks

[VIII] O artigo publicado na Science pode ser acesso em:

 http://rocs.hu-berlin.de/papers/brockmann_2013.pdf

[IX]https://www.nature.com/articles/s41562-020-0898-6.pdf